Exercises 1–6齊次系統的解空間
In Exercises 1–6, find a basis for the solution space of the homogeneous linear system, and find the dimension of that space.
在習題 1–6 中，求該齊次線性系統解空間的一組基底，並求該空間的維度。
由第三式 \(x_1=x_3\)，代入第一式得 \(x_2=0\)，第二式自動成立。
基底 \(\{(1,0,1)\}\) 維度 1
兩式相加得 \(8x_1+2x_3=0\)，即 \(x_3=-4x_1\)；相減得 \(x_2=x_1-x_4\)。取 \(x_1,x_4\) 為自由變數。
基底 \(\{(1,1,-4,0),\ (0,-1,0,1)\}\) 維度 2
由後兩式 \(x_1=-5x_3,\ x_2=-x_3\)，代入第一式得 \(-8x_3=0\)，故 \(x_3=0\)，只有零解。
基底為空集合 維度 0
第二式是第一式的 2 倍（秩 1），故只有 \(x_1=4x_2-3x_3+x_4\) 一條限制。
基底 \(\{(4,1,0,0),\ (-3,0,1,0),\ (1,0,0,1)\}\) 維度 3
三式互為倍數（秩 1），只剩 \(x_1=3x_2-x_3\)。
基底 \(\{(3,1,0),\ (-1,0,1)\}\) 維度 2
由前兩式得 \(y=-5z,\ x=4z\)；代入後兩式皆成立（四式的秩為 2）。
基底 \(\{(4,-5,1)\}\) 維度 1
Exercises 7–12子空間的基底與維度
In each part, find a basis for the given subspace of \(R^3\), and state its dimension.
a. The plane \(3x-2y+5z=0\).
b. The plane \(x-y=0\).
c. The line \(x=2t,\ y=-t,\ z=4t\).
d. All vectors of the form \((a,b,c)\), where \(b=a+c\).
各小題中，求 \(R^3\) 中所給子空間的一組基底，並說明其維度。
a. 平面 \(3x-2y+5z=0\)。
b. 平面 \(x-y=0\)。
c. 直線 \(x=2t,\ y=-t,\ z=4t\)。
d. 所有形如 \((a,b,c)\) 且 \(b=a+c\) 的向量。
a. 令 \(y=s,\ z=t\)，則 \(x=\tfrac{2s-5t}{3}\)。基底 \((2,3,0),\ (-5,0,3)\) 維度 2
b. \(x=y\)，\(z\) 自由。基底 \((1,1,0),\ (0,0,1)\) 維度 2
c. 基底 \((2,-1,4)\) 維度 1
d. \((a,a+c,c)=a(1,1,0)+c(0,1,1)\)。基底 \((1,1,0),\ (0,1,1)\) 維度 2
In each part, find a basis for the given subspace of \(R^4\), and state its dimension.
a. All vectors of the form \((a,b,c,0)\).
b. All vectors of the form \((a,b,c,d)\), where \(d=a+b\) and \(c=a-b\).
c. All vectors of the form \((a,b,c,d)\), where \(a=b=c=d\).
各小題中，求 \(R^4\) 中所給子空間的一組基底，並說明其維度。
a. 所有形如 \((a,b,c,0)\) 的向量。
b. 所有形如 \((a,b,c,d)\) 且 \(d=a+b,\ c=a-b\) 的向量。
c. 所有形如 \((a,b,c,d)\) 且 \(a=b=c=d\) 的向量。
a. 基底 \(e_1,e_2,e_3\) 維度 3
b. \((a,b,a-b,a+b)=a(1,0,1,1)+b(0,1,-1,1)\)。基底 \((1,0,1,1),\ (0,1,-1,1)\) 維度 2
c. 基底 \((1,1,1,1)\) 維度 1
Find the dimension of each of the following vector spaces.
a. The vector space of all diagonal \(n\times n\) matrices.
b. The vector space of all symmetric \(n\times n\) matrices.
c. The vector space of all upper triangular \(n\times n\) matrices.
求下列各向量空間的維度。
a. 所有 \(n\times n\) 對角矩陣所成的向量空間。
b. 所有 \(n\times n\) 對稱矩陣所成的向量空間。
c. 所有 \(n\times n\) 上三角矩陣所成的向量空間。
a. \(n\)（對角上每個位置各一個自由元）
b. \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)（對角 \(n\) 個，加上嚴格上三角 \(\tfrac{n(n-1)}{2}\) 個；下三角由對稱性決定）
c. \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)（對角與嚴格上三角的所有位置）
Find the dimension of the subspace of \(P_3\) consisting of all polynomials \(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\) for which \(a_0=0\).
求 \(P_3\) 中由所有滿足 \(a_0=0\) 的多項式 \(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\) 所構成之子空間的維度。
該子空間為 \(\{a_1x+a_2x^2+a_3x^3\}\)，基底 \(\{x,\ x^2,\ x^3\}\) 維度 3
a. Show that the set \(W\) of all polynomials in \(P_2\) such that \(p(1)=0\) is a subspace of \(P_2\).
b. Make a conjecture about the dimension of \(W\).
c. Confirm your conjecture by finding a basis for \(W\).
a. 證明 \(P_2\) 中所有滿足 \(p(1)=0\) 的多項式所成集合 \(W\) 是 \(P_2\) 的子空間。
b. 對 \(W\) 的維度提出猜想。
c. 找出 \(W\) 的一組基底以驗證你的猜想。
a. 零多項式滿足 \(0(1)=0\)，故 \(W\) 非空。若 \(p,q\in W\)、\(c\) 為純量，則 \((p+q)(1)=p(1)+q(1)=0\)、\((cp)(1)=c\,p(1)=0\)，對加法與純量乘法封閉，故為子空間。∎
b. \(\dim P_2=3\)，而 \(p(1)=0\) 是一條線性限制式，猜想 \(\dim W=2\)。
c. 設 \(p=a+bx+cx^2\)，條件為 \(a+b+c=0\)，即 \(a=-b-c\)，於是
\[p=b(x-1)+c(x^2-1).\]\(\{x-1,\ x^2-1\}\) 生成 \(W\) 且線性獨立（次數不同），故為基底，\(\dim W=2\)，猜想成立。
Find a standard basis vector for \(R^3\) that can be added to the set \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) to produce a basis for \(R^3\).
a. \(\mathbf v_1=(-1,2,3),\quad \mathbf v_2=(1,-2,-2)\)
b. \(\mathbf v_1=(1,-1,0),\quad \mathbf v_2=(3,1,-2)\)
求一個 \(R^3\) 的標準基底向量，使其加入集合 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) 後可構成 \(R^3\) 的一組基底。
a. \(\mathbf v_1\times\mathbf v_2=(2,1,0)\)。與其內積不為 0 的標準基底向量即可，故 \(\mathbf e_1\) 或 \(\mathbf e_2\) 皆可，例如 \(\mathbf e_1=(1,0,0)\)。\(\mathbf e_3\) 不行（行列式為 0）。
b. \(\mathbf v_1\times\mathbf v_2=(2,2,4)\)，三個分量皆非零，故 \(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\) 任選其一都可以。
Exercises 13–20擴充基底、生成集與零空間
Find standard basis vectors for \(R^4\) that can be added to the set \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) to produce a basis for \(R^4\).
\[\mathbf v_1=(1,-4,2,-3),\qquad \mathbf v_2=(-3,8,-4,6)\]求可加入集合 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) 以構成 \(R^4\) 基底的標準基底向量。
將兩列消去後得 \((1,-4,2,-3)\) 與 \((0,-4,2,-3)\)，主元落在第 1、2 行，故補上 \(\mathbf e_3=(0,0,1,0)\) 與 \(\mathbf e_4=(0,0,0,1)\)。
驗算：\(\{\mathbf e_2,\mathbf e_3\}\) 與 \(\{\mathbf e_2,\mathbf e_4\}\) 也可行；但只要含 \(\mathbf e_1\)，秩就停在 3。
Let \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}\) be a basis for a vector space \(V\). Show that \(\{\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\}\) is also a basis, where \(\mathbf u_1=\mathbf v_1\), \(\mathbf u_2=\mathbf v_1+\mathbf v_2\), and \(\mathbf u_3=\mathbf v_1+\mathbf v_2+\mathbf v_3\).
設 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}\) 是向量空間 \(V\) 的一組基底。證明 \(\{\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\}\) 也是基底，其中 \(\mathbf u_1=\mathbf v_1\)、\(\mathbf u_2=\mathbf v_1+\mathbf v_2\)、\(\mathbf u_3=\mathbf v_1+\mathbf v_2+\mathbf v_3\)。
\(\dim V=3\)，故只需證線性獨立。設
\[c_1\mathbf u_1+c_2\mathbf u_2+c_3\mathbf u_3=(c_1+c_2+c_3)\mathbf v_1+(c_2+c_3)\mathbf v_2+c_3\mathbf v_3=\mathbf 0.\]由 \(\{\mathbf v_i\}\) 線性獨立，三個係數皆為 0：先得 \(c_3=0\)，代入 \(c_2+c_3=0\) 得 \(c_2=0\)，再得 \(c_1=0\)。故 \(\{\mathbf u_i\}\) 線性獨立；3 維空間中 3 個線性獨立向量必構成基底。∎
The vectors \(\mathbf v_1=(1,-2,3)\) and \(\mathbf v_2=(0,5,-3)\) are linearly independent. Enlarge \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) to a basis for \(R^3\).
已知 \(\mathbf v_1=(1,-2,3)\) 與 \(\mathbf v_2=(0,5,-3)\) 線性獨立，將 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) 擴充成 \(R^3\) 的一組基底。
\(\mathbf v_1\times\mathbf v_2=(-9,3,5)\)，三分量皆非零，故 \(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\) 任選其一皆可。例如 \(\{(1,-2,3),\ (0,5,-3),\ (1,0,0)\}\)。
The vectors \(\mathbf v_1=(1,0,0,0)\) and \(\mathbf v_2=(1,1,0,0)\) are linearly independent. Enlarge \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) to a basis for \(R^4\).
已知 \(\mathbf v_1=(1,0,0,0)\) 與 \(\mathbf v_2=(1,1,0,0)\) 線性獨立，將 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) 擴充成 \(R^4\) 的一組基底。
兩向量的第 3、4 分量皆為 0，補上 \(\mathbf e_3=(0,0,1,0)\)、\(\mathbf e_4=(0,0,0,1)\)。以這四個向量為行（直行）排成矩陣，為上三角且對角元非零，秩 4。
Find a basis for the subspace of \(R^3\) that is spanned by the vectors
\[\mathbf v_1=(1,0,0),\ \ \mathbf v_2=(1,0,1),\ \ \mathbf v_3=(2,0,1),\ \ \mathbf v_4=(0,0,-1)\]求由這些向量所生成之 \(R^3\) 子空間的一組基底。
四個向量第二分量皆為 0，生成空間落在 \(xz\) 平面內；而 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\) 已線性獨立，故生成空間就是整個 \(xz\) 平面。
基底 \(\{(1,0,0),\ (0,0,1)\}\)（取 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) 亦可） 維度 2
相依關係：\(\mathbf v_3=\mathbf v_1+\mathbf v_2\)、\(\mathbf v_4=\mathbf v_1-\mathbf v_2\)。
Find a basis for the subspace of \(R^4\) that is spanned by the vectors
\[\mathbf v_1=(1,1,1,1),\ \ \mathbf v_2=(2,2,2,0),\ \ \mathbf v_3=(0,0,0,3),\ \ \mathbf v_4=(3,3,3,4)\]求由這些向量所生成之 \(R^4\) 子空間的一組基底。
令 \(\mathbf a=(1,1,1,0)=\tfrac12\mathbf v_2\)、\(\mathbf b=(0,0,0,1)=\tfrac13\mathbf v_3\)，則 \(\mathbf v_1=\mathbf a+\mathbf b\)、\(\mathbf v_4=3\mathbf a+4\mathbf b\)。
基底 \(\{(1,1,1,0),\ (0,0,0,1)\}\)（或取 \(\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\)） 維度 2
In each part, let \(T_A:R^3\to R^3\) be multiplication by \(A\) and find the dimension of the subspace of \(R^3\) consisting of all vectors \(\mathbf x\) for which \(T_A(\mathbf x)=\mathbf 0\).
\[\textbf{a.}\ A=\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}\qquad \textbf{b.}\ A=\begin{bmatrix}1&2&0\\1&2&0\\1&2&0\end{bmatrix}\qquad \textbf{c.}\ A=\begin{bmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}\]各小題中，設 \(T_A:R^3\to R^3\) 為乘以 \(A\) 的變換，求 \(R^3\) 中所有滿足 \(T_A(\mathbf x)=\mathbf 0\) 之向量所成子空間（即零空間）的維度。
a. 第 2、3 列相同，秩 2，\(3-2=1\) 維度 1，基底 \((-1,1,1)\)
b. 三列相同，秩 1，\(3-1=2\) 維度 2，基底 \((-2,1,0),\ (0,0,1)\)
c. 下三角且對角元非零，可逆，秩 3 維度 0
In each part, let \(T_A\) be multiplication by \(A\) and find the dimension of the subspace of \(R^4\) consisting of all vectors \(\mathbf x\) for which \(T_A(\mathbf x)=\mathbf 0\).
\[\textbf{a.}\ A=\begin{bmatrix}1&0&2&-1\\-1&4&0&0\end{bmatrix}\qquad \textbf{b.}\ A=\begin{bmatrix}0&0&1&1\\-1&1&0&0\\1&0&0&1\end{bmatrix}\]各小題中，設 \(T_A\) 為乘以 \(A\) 的變換，求 \(R^4\) 中所有滿足 \(T_A(\mathbf x)=\mathbf 0\) 之向量所成子空間的維度。
a. 兩列線性獨立，秩 2，\(4-2=2\) 維度 2，基底 \((-4,-1,2,0),\ (4,1,0,4)\)
b. 三列線性獨立，秩 3，\(4-3=1\) 維度 1，基底 \((1,1,1,-1)\)
Exercises 21–27證明題與座標向量
a. Prove that for every positive integer \(n\), one can find \(n+1\) linearly independent vectors in \(F(-\infty,\infty)\). [Hint: Look for polynomials.]
b. Use the result in part (a) to prove that \(F(-\infty,\infty)\) is infinite-dimensional.
c. Prove that \(C(-\infty,\infty)\), \(C^m(-\infty,\infty)\), and \(C^\infty(-\infty,\infty)\) are infinite-dimensional.
a. 證明：對任意正整數 \(n\)，都可以在 \(F(-\infty,\infty)\)（所有定義在整條實數線上的函數所成的向量空間）中，找到 \(n+1\) 個線性獨立的函數。〔提示：往多項式的方向找。〕
b. 利用 (a) 的結果證明 \(F(-\infty,\infty)\) 是無限維的，也就是它沒有任何由有限多個函數組成的基底。
c. 證明 \(C(-\infty,\infty)\)（連續函數）、\(C^m(-\infty,\infty)\)（\(m\) 階導數存在且連續的函數）、\(C^\infty(-\infty,\infty)\)（可無限次微分的函數）這三個空間也都是無限維的。
a. 這裡的「向量」就是函數。取 \(n+1\) 個單項式 \(1,x,x^2,\dots,x^n\)，它們都是定義在整條實數線上的函數。假設某組純量使得
\[c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n=0\quad\text{對所有實數 }x\text{ 都成立},\]則左邊這個多項式有無限多個根。但次數至多為 \(n\) 的非零多項式最多只有 \(n\) 個根，所以它只能是零多項式，即 \(c_0=c_1=\cdots=c_n=0\)。這正是線性獨立的定義，故這 \(n+1\) 個函數線性獨立。
b. 反證。若 \(F(-\infty,\infty)\) 為有限維且 \(\dim=n\)，由「\(n\) 維空間中任何超過 \(n\) 個向量的集合必線性相依」，任何 \(n+1\) 個函數都應相依；但 (a) 給出 \(n+1\) 個線性獨立的函數，矛盾。故為無限維。
c. 多項式處處連續、可微任意多次，故 \(1,x,\dots,x^n\) 同時屬於 \(C\)、\(C^m\)、\(C^\infty\)。對這三個空間重複 (b) 的論證即得。∎
Let \(S\) be a basis for an \(n\)-dimensional vector space \(V\). Prove that if \(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots,\mathbf v_r\) form a linearly independent set of vectors in \(V\), then the coordinate vectors \((\mathbf v_1)_S,(\mathbf v_2)_S,\dots,(\mathbf v_r)_S\) form a linearly independent set in \(R^n\), and conversely.
設 \(S\) 是 \(n\) 維向量空間 \(V\) 的一組基底。證明：\(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\) 在 \(V\) 中線性獨立，若且唯若座標向量 \((\mathbf v_1)_S,\dots,(\mathbf v_r)_S\) 在 \(R^n\) 中線性獨立。
座標映射 \(\mathbf v\mapsto(\mathbf v)_S\) 是線性的，且由基底表示法唯一可知 \((\mathbf v)_S=\mathbf 0\iff\mathbf v=\mathbf 0\)。於是對任意純量 \(c_1,\dots,c_r\)：
\[c_1\mathbf v_1+\cdots+c_r\mathbf v_r=\mathbf 0\iff c_1(\mathbf v_1)_S+\cdots+c_r(\mathbf v_r)_S=\mathbf 0.\]兩式擁有完全相同的解 \((c_1,\dots,c_r)\)，因此一邊只有平凡解，若且唯若另一邊也只有平凡解，即兩邊的線性獨立性等價。∎
Using the notation from Exercise 22 (\(S\) is a basis for an \(n\)-dimensional vector space \(V\)), prove that if the vectors \(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots,\mathbf v_r\) span \(V\), then the coordinate vectors \((\mathbf v_1)_S,(\mathbf v_2)_S,\dots,(\mathbf v_r)_S\) span \(R^n\), and conversely.
沿用習題 22 的記號（\(S\) 是 \(n\) 維向量空間 \(V\) 的一組基底）。證明：\(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\) 生成 \(V\)，若且唯若座標向量 \((\mathbf v_1)_S,\dots,(\mathbf v_r)_S\) 生成 \(R^n\)。
因 \(S\) 是基底，座標映射 \(\mathbf v\mapsto(\mathbf v)_S\) 是 \(V\to R^n\) 的線性同構（一對一且映成）。對任意 \(\mathbf w\in V\)：
\[\mathbf w=c_1\mathbf v_1+\cdots+c_r\mathbf v_r\iff(\mathbf w)_S=c_1(\mathbf v_1)_S+\cdots+c_r(\mathbf v_r)_S.\]（\(\Rightarrow\)）若 \(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_r\) 生成 \(V\)：任取 \(\mathbf y\in R^n\)，由映成性存在 \(\mathbf w\in V\) 使 \((\mathbf w)_S=\mathbf y\)；把 \(\mathbf w\) 寫成 \(\mathbf v_i\) 的線性組合後取座標，即得 \(\mathbf y\) 是 \((\mathbf v_i)_S\) 的線性組合。
（\(\Leftarrow\)）若座標向量生成 \(R^n\)：任取 \(\mathbf w\in V\)，把 \((\mathbf w)_S\) 寫成 \((\mathbf v_i)_S\) 的線性組合，再由一對一性回推，即得 \(\mathbf w\) 是 \(\mathbf v_i\) 的相同線性組合。∎
Prove part (a) of Theorem 4.6.6.
證明定理 4.6.6 的 (a) 部分。
Theorem 4.6.6：若 \(W\) 是有限維向量空間 \(V\) 的子空間，則 (a) \(W\) 為有限維；(b) \(\dim W\le\dim V\)；(c) \(W=V\iff\dim W=\dim V\)。
(a) \(W\) 為有限維。設 \(\dim V=n\)。若 \(W=\{\mathbf 0\}\)，則 \(\dim W=0\)，得證。否則在 \(W\) 中逐一挑選向量，每次挑一個不在「已選向量生成空間」中的向量；由加減定理（plus/minus theorem），已選的向量始終線性獨立。它們也是 \(V\) 中的線性獨立集，而 \(V\) 中線性獨立集至多 \(n\) 個向量，故至多 \(n\) 步後必定停止；停止時所選向量生成 \(W\)，是 \(W\) 的有限基底（細節同習題 25）。∎
順帶 (b)：由 (a)，\(W\) 有有限基底 \(\{\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_k\}\)，它們在 \(V\) 中也線性獨立，由 Theorem 4.6.2(a) 得 \(k\le n\)，即 \(\dim W\le\dim V\)。注意 (b) 必須以 (a) 為前提，否則「取 \(W\) 的一組基底」沒有根據。
Prove: A subspace of a finite-dimensional vector space is finite-dimensional.
證明：有限維向量空間的子空間也是有限維的。
設 \(\dim V=n\)，\(W\subseteq V\) 為子空間。若 \(W=\{\mathbf 0\}\)，則 \(\dim W=0\)，得證。
否則取 \(\mathbf w_1\in W\)、\(\mathbf w_1\neq\mathbf 0\)，此時 \(\{\mathbf w_1\}\) 線性獨立。若 \(\operatorname{span}\{\mathbf w_1\}\neq W\)，取 \(\mathbf w_2\in W\) 且 \(\mathbf w_2\notin\operatorname{span}\{\mathbf w_1\}\)；由加減定理（plus/minus theorem），\(\{\mathbf w_1,\mathbf w_2\}\) 仍線性獨立。如此反覆。
每一步都在 \(V\) 中造出更大的線性獨立集，而 \(V\) 中線性獨立集的向量數最多為 \(n\)，故程序必在至多 \(n\) 步後停止。停止時表示所得的線性獨立集恰好生成 \(W\)，即為 \(W\) 的有限基底。故 \(W\) 為有限維。∎
State the two parts of Theorem 4.6.2 in contrapositive form.
以逆否命題（contrapositive）形式敘述定理 4.6.2 的兩個部分。
原敘述（設 \(\dim V=n\)）：(a) 若集合的向量個數多於 \(n\)，則它線性相依。(b) 若集合的向量個數少於 \(n\)，則它不生成 \(V\)。
(a) 逆否：若 \(V\) 中一組向量是線性獨立的，則其向量個數至多為 \(n\)。
(b) 逆否：若 \(V\) 中一組向量生成 \(V\)，則其向量個數至少為 \(n\)。
In each part, let \(S\) be the standard basis for \(P_2\). Use the results proved in Exercises 22 and 23 to find a basis for the subspace of \(P_2\) spanned by the given vectors.
a. \(-1+x-2x^2,\ \ 3+3x+6x^2,\ \ 9\)
b. \(1+x,\ \ x^2,\ \ 2+2x+3x^2\)
c. \(1+x-3x^2,\ \ 2+2x-6x^2,\ \ 3+3x-9x^2\)
各小題中，設 \(S\) 為 \(P_2\) 的標準基底。利用習題 22、23 所證的結果，求由所給向量生成之 \(P_2\) 子空間的一組基底。
取座標對應 \(a+bx+cx^2\leftrightarrow(a,b,c)\)，問題轉為 \(R^3\) 中的生成集問題。
a. 座標 \((-1,1,-2),(3,3,6),(9,0,0)\)，行列式 \(=108\neq0\)，秩 3。三者本身即為基底，生成空間就是 \(P_2\) 維度 3
b. 座標 \((1,1,0),(0,0,1),(2,2,3)\)，因 \((2,2,3)=2(1,1,0)+3(0,0,1)\)，秩 2。基底 \(\{1+x,\ x^2\}\) 維度 2
c. 座標 \((1,1,-3),(2,2,-6),(3,3,-9)\) 互為倍數，秩 1。基底 \(\{1+x-3x^2\}\) 維度 1
True-False Exercises判斷真偽並說明理由
In parts (a)–(k) determine whether the statement is true or false, and justify your answer.
a. The zero vector space has dimension zero.
b. There is a set of 17 linearly independent vectors in \(R^{17}\).
c. There is a set of 11 vectors that span \(R^{17}\).
d. Every linearly independent set of five vectors in \(R^5\) is a basis for \(R^5\).
e. Every set of five vectors that spans \(R^5\) is a basis for \(R^5\).
f. Every set of vectors that spans \(R^n\) contains a basis for \(R^n\).
g. Every linearly independent set of vectors in \(R^n\) is contained in some basis for \(R^n\).
h. There is a basis for \(M_{22}\) consisting of invertible matrices.
i. If \(A\) has size \(n\times n\) and \(I_n,A,A^2,\dots,A^{n^2}\) are distinct matrices, then \(\{I_n,A,A^2,\dots,A^{n^2}\}\) is a linearly dependent set.
j. There are at least two distinct three-dimensional subspaces of \(P_2\).
k. There are only three distinct two-dimensional subspaces of \(P_2\).
判斷 (a)–(k) 各敘述為真或偽，並說明理由。
a. 零向量空間的維度為 0。
b. \(R^{17}\) 中存在 17 個線性獨立的向量。
c. 存在 11 個向量可生成 \(R^{17}\)。
d. \(R^5\) 中每個由 5 個向量組成的線性獨立集都是 \(R^5\) 的基底。
e. 每個由 5 個向量組成、可生成 \(R^5\) 的集合都是 \(R^5\) 的基底。
f. 每個生成 \(R^n\) 的向量集都包含 \(R^n\) 的一組基底。
g. \(R^n\) 中每個線性獨立集都包含於某組 \(R^n\) 的基底之中。
h. 存在一組全由可逆矩陣組成的 \(M_{22}\) 基底。
i. 若 \(A\) 的大小為 \(n\times n\) 且 \(I_n,A,A^2,\dots,A^{n^2}\) 兩兩相異，則 \(\{I_n,A,A^2,\dots,A^{n^2}\}\) 是線性相依集。
j. \(P_2\) 至少有兩個相異的三維子空間。
k. \(P_2\) 只有三個相異的二維子空間。
| 判斷 | 理由 | |
|---|---|---|
| a | T | 其基底為空集合，向量個數 0 |
| b | T | 標準基底即是 |
| c | F | 生成 \(R^{17}\) 至少需要 17 個向量 |
| d | T | \(n\) 維空間中恰 \(n\) 個線性獨立向量必構成基底 |
| e | T | 同一定理的另一半：恰 \(n\) 個且生成，即為基底 |
| f | T | 生成集可刪去多餘向量而化為基底 |
| g | T | 線性獨立集可擴充成基底 |
| h | T | 例：\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\)，行列式皆為 \(\pm1\) 且四者線性獨立 |
| i | T | 共 \(n^2+1\) 個矩陣，而 \(\dim M_{nn}=n^2\) |
| j | F | \(\dim P_2=3\)，三維子空間只有 \(P_2\) 本身 |
| k | F | 相當於三維空間中通過原點的平面，有無限多個 |
Working with Technology用計算工具求維度
Devise three different procedures for using your technology utility to determine the dimension of the subspace spanned by a set of vectors in \(R^n\), and then use each of those procedures to determine the dimension of the subspace of \(R^5\) spanned by the vectors
\[\mathbf v_1=(2,2,-1,0,1),\qquad \mathbf v_2=(-1,-1,2,-3,1),\] \[\mathbf v_3=(1,1,-2,0,-1),\qquad \mathbf v_4=(0,0,1,1,1)\]設計三種不同的程序，用計算工具求出 \(R^n\) 中一組向量所生成子空間的維度；再用這三種程序求出上列向量在 \(R^5\) 中所生成子空間的維度。
三種程序
- 把各向量排成矩陣的列，化為列梯形式，非零列的個數即為維度。
- 把各向量排成矩陣的行，化為梯形式，主元行（pivot column）的個數即為維度。
- 直接呼叫 rank 函數；或把各向量排成矩陣的行，求其零空間維度 \(k\)，再由秩–零度定理得維度 \(=\) 向量個數 \(-\,k\)。
結果：三種做法都得到秩 \(=3\)，故生成子空間的維度為 3。
化簡過程：以 \(\mathbf v_3\) 為主元列，\(\mathbf v_1-2\mathbf v_3=(0,0,3,0,3)\)、\(\mathbf v_2+\mathbf v_3=(0,0,0,-3,0)\)；又 \((0,0,1,0,1)+(0,0,0,1,0)=(0,0,1,1,1)=\mathbf v_4\)，可見 \(\mathbf v_4\) 是前三者的線性組合。
Find a basis for the row space of \(A\) by starting at the top and successively removing each row that is a linear combination of its predecessors.
\[A=\begin{bmatrix} 3.4&2.2&1.0&-1.8\\ 2.1&3.6&4.0&-3.4\\ 8.9&8.0&6.0&7.0\\ 7.6&9.4&9.0&-8.6\\ 1.0&2.2&0.0&2.2 \end{bmatrix}\]求 \(A\) 的列空間（row space）的一組基底：從最上面一列開始，依序刪去每個「可表示為其前面各列之線性組合」的列。
逐列檢查
- 第 1 列：保留（非零）。
- 第 2 列：保留（與第 1 列不成比例）。
- 第 3 列：保留。前三行雖恰好符合 \(2r_1+r_2\)，但該組合的第四行為 \(-7.0\)，與實際的 \(7.0\) 不符，故不是線性組合。
- 第 4 列：刪去，因為 \(r_4=r_1+2r_2\)。
- 第 5 列：保留（代入求解後前三行即出現矛盾，不在前三列的生成空間中）。
列空間基底（第 1、2、3、5 列）：
\[(3.4,2.2,1.0,-1.8),\ (2.1,3.6,4.0,-3.4),\ (8.9,8.0,6.0,7.0),\ (1.0,2.2,0.0,2.2)\]\(\operatorname{rank}(A)=4\)，故列空間就是整個 \(R^4\) 維度 4
抄題提醒：第 3 列的前三個分量恰與 \(2\mathbf r_1+\mathbf r_2=(8.9,\,8.0,\,6.0,\,-7.0)\) 相同，只差最後一項的正負號。若課本第 3 列最後一項其實是 \(-7.0\)，則第 3 列也要刪去，列空間基底為第 1、2、5 列，\(\operatorname{rank}(A)=3\)。請以課本為準。