4.7 Change of Basis

本節重點整理做題前先看這裡

一句口訣、兩個定理、一個算法

整節 4.7 可以濃縮成下面五點；課文本身也說了，不要死背公式 (9)(10)，記住第 2 點那句話就好。

座標映射是一切的橋樑

\(\mathbf v\mapsto(\mathbf v)_S\) 是 \(V\) 與 \(R^n\) 之間的一對一對應（coordinate map）。這解釋了為什麼抽象空間（多項式、\(\sin x/\cos x\)、矩陣）的問題都能丟回 \(R^n\) 用矩陣處理。

習題 20、21 證的就是：「生成」與「線性獨立」這兩個性質在此對應下保持不變。

唯一要背的那句話

由舊基底到新基底的轉移矩陣，其行（column）是舊基底向量相對於新基底的座標。

\[P_{B\to B'}=\Big[\ [\mathbf u_1]_{B'}\ \Big|\ [\mathbf u_2]_{B'}\ \Big|\ \cdots\ \Big|\ [\mathbf u_n]_{B'}\ \Big]\]

最容易錯的地方：\(P_{B\to B'}\) 的箭頭指向 \(B'\)，但矩陣的行裝的是 \(B\) 的向量（只是用 \(B'\) 的座標寫出來）。箭頭方向和「誰被拆解」是相反的。

搭配兩條座標轉換式：

(11)　\([\mathbf w]_{B'}=P_{B\to B'}\,[\mathbf w]_B\)　　(12)　\([\mathbf w]_{B}=P_{B'\to B}\,[\mathbf w]_{B'}\)

Theorem 4.7.1：轉移矩陣必可逆

由 \((P_{B'\to B})(P_{B\to B'})=I\) 得知 \(P\) 可逆，且

\[\big(P_{B\to B'}\big)^{-1}=P_{B'\to B}.\]

True-False 的 (b)、(f) 全靠這條：\(\det A=0\) 的方陣（例如零矩陣）永遠不可能是轉移矩陣。另外合成時 \(P_{B\to B''}=P_{B'\to B''}\,P_{B\to B'}\)，先做的寫右邊（習題 12、13）。

Formula (14)：四步驟算法，順序別擺反

\[\big[\ \text{新基底}\ \big|\ \text{舊基底}\ \big]\ \xrightarrow{\ \text{列運算}\ }\ \big[\ I\ \big|\ P_{\text{舊}\to\text{新}}\ \big]\]

A Procedure for Computing Transition Matrices

Step 1. 造分割矩陣 \(\big[\,\text{新基底}\mid\text{舊基底}\,\big]\)，基底向量一律寫成行。
Step 2. 用初等列運算把它化成簡化列梯形式（reduced row echelon form）。
Step 3. 結果必為 \(\big[\,I\mid\text{舊}\to\text{新的轉移矩陣}\,\big]\)。
Step 4. 取出右半邊，就是答案。

新的放左邊。之所以能一次做完，是因為這 \(n\) 個方程組共用同一個係數矩陣（就是「新基底」那一塊）——這正是課文中那個「(why?)」的答案。

Theorem 4.7.2：往標準基底走，完全不用算

\[P_{B\to S}=\big[\ \mathbf u_1\ \big|\ \mathbf u_2\ \big|\ \cdots\ \big|\ \mathbf u_n\ \big]\]

直接把基底向量寫成行即可（習題 8a、9a、17、18 考的就是這個）。

反過來同樣重要：任何可逆 \(n\times n\) 矩陣都可以看成「某組基底 → 標準基底」的轉移矩陣，它的各行就是那組基底。習題 15 考的正是這件事的正反兩個方向。

課本例題三個例題用的是同一組基底，可以連著看

三個例題共用的設定（\(R^2\)）：

\[B=\{\mathbf u_1,\mathbf u_2\},\quad \mathbf u_1=(1,0),\ \mathbf u_2=(0,1)\qquad B'=\{\mathbf u'_1,\mathbf u'_2\},\quad \mathbf u'_1=(1,1),\ \mathbf u'_2=(2,1)\]

注意 \(B\) 恰好是標準基底，所以待會可以順便看出 Theorem 4.7.2 是怎麼來的。

EXAMPLE 1Finding Transition Matrices用定義直接做

(a) 求 \(P_{B\to B'}\)。此時舊基底是 \(B\)、新基底是 \(B'\)，所以要把 \(\mathbf u_1,\mathbf u_2\) 用 \(\mathbf u'_1,\mathbf u'_2\) 展開：

\[\mathbf u_1=-\mathbf u'_1+\mathbf u'_2,\qquad \mathbf u_2=2\mathbf u'_1-\mathbf u'_2\] \[[\mathbf u_1]_{B'}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix},\quad[\mathbf u_2]_{B'}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} \ \Longrightarrow\ P_{B\to B'}=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-1\end{bmatrix}\]

(b) 求 \(P_{B'\to B}\)。角色對調，這次舊基底是 \(B'\)：

\[\mathbf u'_1=\mathbf u_1+\mathbf u_2,\qquad \mathbf u'_2=2\mathbf u_1+\mathbf u_2 \ \Longrightarrow\ P_{B'\to B}=\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}\]

對照重點 2：兩小題的行裡裝的永遠是「舊」基底向量，只是用「新」基底的座標寫出來。判斷誰是舊的，看箭頭起點。

EXAMPLE 2Change of Coordinates把座標換過去

已知 \([\mathbf v]_B=\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}\)，求 \([\mathbf v]_{B'}\)。要從 \(B\) 轉到 \(B'\)，用公式 (11)：

\[[\mathbf v]_{B'}=P_{B\to B'}[\mathbf v]_B=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}13\\-8\end{bmatrix}\]

驗算：\(\mathbf v=-3\mathbf u_1+5\mathbf u_2=(-3,5)\)；而 \(13\mathbf u'_1-8\mathbf u'_2=13(1,1)-8(2,1)=(-3,5)\)　✓ 同一個向量，兩套座標。

EXAMPLE 3Example 1 Revisited改用四步驟算法

(a) 求 \(P_{B\to B'}\)。舊 \(=B\)、新 \(=B'\)，依 Step 1 造 \(\big[\,B'\mid B\,\big]\)：

\[\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\1&1&0&1\end{array}\right] \xrightarrow{\ R_2-R_1,\ -R_2,\ R_1-2R_2\ } \left[\begin{array}{cc|cc}1&0&-1&2\\0&1&1&-1\end{array}\right]\]

取右半邊：\(P_{B\to B'}=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-1\end{bmatrix}\)，與 Example 1 一致 ✓

(b) 求 \(P_{B'\to B}\)。這次新 \(=B\)（標準基底），造 \(\big[\,B\mid B'\,\big]\)：

\[\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&1&2\\0&1&1&1\end{array}\right]\]

左半邊本來就是 \(I\)，完全不用化簡，直接讀出 \(P_{B'\to B}=\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}\)。

這就是 Theorem 4.7.2 的來源：當新基底是標準基底時，左半邊天生是單位矩陣，右半邊就是舊基底向量原封不動寫成行。

順帶驗證 (13)：

\[\big(P_{B'\to B}\big)\big(P_{B\to B'}\big)=\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&2\\1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\]

解題流程速選：拿到題目先問三句話

目標基底是標準基底嗎？　是 → 用 Theorem 4.7.2，把向量寫成行就結束，不必計算（習題 8a、9a、17、18）。
兩組都不是標準基底、但在 \(R^n\) 裡嗎？　是 → 用 Formula (14) 的四步驟；或等價地算 \(P_{B\to B'}=U'^{-1}U\)（習題 3、4、7）。
在抽象空間（多項式、\(\sin x/\cos x\)、矩陣）嗎？　是 → 先用重點 1 的座標映射轉成 \(R^n\) 的向量，做完再翻譯回去（習題 5、6）。

最後一步不論哪條路線都一樣：把答案代回原式驗算——用另一組基底重組出同一個向量。

Exercises 1–4\(R^2,R^3\) 的轉移矩陣與座標向量

Consider the bases \(B=\{\mathbf u_1,\mathbf u_2\}\) and \(B'=\{\mathbf u'_1,\mathbf u'_2\}\) for \(R^2\), where

\[\mathbf u_1=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix},\quad \mathbf u_2=\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix},\quad \mathbf u'_1=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix},\quad \mathbf u'_2=\begin{bmatrix}-1\\-1\end{bmatrix}\]

a. Find the transition matrix from \(B'\) to \(B\).

b. Find the transition matrix from \(B\) to \(B'\).

c. Compute the coordinate vector \([\mathbf w]_B\), where \(\mathbf w=\begin{bmatrix}3\\-5\end{bmatrix}\), and use (11) to compute \([\mathbf w]_{B'}\).

d. Check your work by computing \([\mathbf w]_{B'}\) directly.

考慮 \(R^2\) 的兩組基底 \(B=\{\mathbf u_1,\mathbf u_2\}\) 與 \(B'=\{\mathbf u'_1,\mathbf u'_2\}\)。

a. 求由 \(B'\) 到 \(B\) 的轉移矩陣。

b. 求由 \(B\) 到 \(B'\) 的轉移矩陣。

c. 求座標向量 \([\mathbf w]_B\)（\(\mathbf w=(3,-5)\)），再用公式 (11) 算出 \([\mathbf w]_{B'}\)。

d. 直接計算 \([\mathbf w]_{B'}\) 以驗算。

a. 解 \(\mathbf u'_1=a\mathbf u_1+b\mathbf u_2\)：\(2a+4b=1,\ 2a-b=3\Rightarrow b=-\tfrac25,\ a=\tfrac{13}{10}\)。
解 \(\mathbf u'_2\)：\(2a+4b=-1,\ 2a-b=-1\Rightarrow b=0,\ a=-\tfrac12\)。

\[P_{B'\to B}=\begin{bmatrix}\tfrac{13}{10}&-\tfrac12\\[2pt]-\tfrac25&0\end{bmatrix}\]

b. 取反矩陣（\(\det=-\tfrac15\)）：

\[P_{B\to B'}=\begin{bmatrix}0&-\tfrac52\\[2pt]-2&-\tfrac{13}{2}\end{bmatrix}\]

驗算：\([\mathbf u_1]_{B'}=(0,-2)\)、\([\mathbf u_2]_{B'}=(-\tfrac52,-\tfrac{13}{2})\)，正是這兩行。

c. \(2a+4b=3,\ 2a-b=-5\Rightarrow[\mathbf w]_B=\left(-\tfrac{17}{10},\ \tfrac85\right)\)。代入 (11)：

\[[\mathbf w]_{B'}=\begin{bmatrix}0&-\tfrac52\\-2&-\tfrac{13}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\tfrac{17}{10}\\[2pt]\tfrac85\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\-7\end{bmatrix}\]

d. 直接解 \(\mathbf w=a\mathbf u'_1+b\mathbf u'_2\)：\(a-b=3,\ 3a-b=-5\Rightarrow a=-4,\ b=-7\)　✓ 相符。

Repeat the directions of Exercise 1 with the same vector \(\mathbf w\) but with

\[\mathbf u_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf u_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\quad \mathbf u'_1=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\quad \mathbf u'_2=\begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}\]

用同一個 \(\mathbf w=(3,-5)\) 重複習題 1 的四個小題，但基底改為上列向量（此時 \(B\) 就是標準基底）。

a. \(B\) 是標準基底，座標即向量本身：

\[P_{B'\to B}=\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\end{bmatrix}\]

b. \(\det=11\)：

\[P_{B\to B'}=\frac{1}{11}\begin{bmatrix}4&3\\-1&2\end{bmatrix}\]

c. \([\mathbf w]_B=(3,-5)\)，由 (11)：

\[[\mathbf w]_{B'}=\frac1{11}\begin{bmatrix}4&3\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-5\end{bmatrix}=\frac1{11}\begin{bmatrix}-3\\-13\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\tfrac3{11}\\[2pt]-\tfrac{13}{11}\end{bmatrix}\]

d. 直接解 \(2a-3b=3,\ a+4b=-5\Rightarrow b=-\tfrac{13}{11},\ a=-\tfrac3{11}\)　✓ 相符。

Consider the bases \(B=\{\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\}\) and \(B'=\{\mathbf u'_1,\mathbf u'_2,\mathbf u'_3\}\) for \(R^3\), where

\[\mathbf u_1=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix},\ \mathbf u_2=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix},\ \mathbf u_3=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\qquad \mathbf u'_1=\begin{bmatrix}3\\1\\-5\end{bmatrix},\ \mathbf u'_2=\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix},\ \mathbf u'_3=\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix}\]

a. Find the transition matrix from \(B\) to \(B'\).

b. Compute the coordinate vector \([\mathbf w]_B\), where \(\mathbf w=\begin{bmatrix}-5\\8\\-5\end{bmatrix}\), and use (11) to compute \([\mathbf w]_{B'}\).

c. Check your work by computing \([\mathbf w]_{B'}\) directly.

考慮 \(R^3\) 的兩組基底 \(B=\{\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3\}\) 與 \(B'=\{\mathbf u'_1,\mathbf u'_2,\mathbf u'_3\}\)。

a. 求由 \(B\) 到 \(B'\) 的轉移矩陣。

b. 求 \([\mathbf w]_B\)（\(\mathbf w=(-5,8,-5)\)），再用 (11) 算 \([\mathbf w]_{B'}\)。

c. 直接計算 \([\mathbf w]_{B'}\) 以驗算。

a. 令 \(U=[\mathbf u_1|\mathbf u_2|\mathbf u_3]\)、\(U'=[\mathbf u'_1|\mathbf u'_2|\mathbf u'_3]\)，則 \(P_{B\to B'}=U'^{-1}U\)。先求（\(\det U'=2\)）

\[U'^{-1}=\begin{bmatrix}1&\tfrac12&\tfrac12\\-1&\tfrac12&-\tfrac12\\1&2&1\end{bmatrix},\qquad P_{B\to B'}=U'^{-1}U=\begin{bmatrix}3&2&\tfrac52\\-2&-3&-\tfrac12\\5&1&6\end{bmatrix}\]

驗算第一行：\(3\mathbf u'_1-2\mathbf u'_2+5\mathbf u'_3=(2,1,1)=\mathbf u_1\)　✓

b. 解 \(U\,[\mathbf w]_B=\mathbf w\) 得 \([\mathbf w]_B=(9,-9,-5)\)。代入 (11)：

\[[\mathbf w]_{B'}=\begin{bmatrix}3&2&\tfrac52\\-2&-3&-\tfrac12\\5&1&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}9\\-9\\-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\tfrac72\\[2pt]\tfrac{23}{2}\\[2pt]6\end{bmatrix}\]

c. 直接算 \([\mathbf w]_{B'}=U'^{-1}\mathbf w=\left(-\tfrac72,\ \tfrac{23}{2},\ 6\right)\)　✓ 相符。

Repeat the directions of Exercise 3 with the same vector \(\mathbf w\), but with

\[\mathbf u_1=\begin{bmatrix}-3\\0\\-3\end{bmatrix},\ \mathbf u_2=\begin{bmatrix}-3\\2\\-1\end{bmatrix},\ \mathbf u_3=\begin{bmatrix}1\\6\\-1\end{bmatrix},\qquad \mathbf u'_1=\begin{bmatrix}-6\\-6\\0\end{bmatrix},\ \mathbf u'_2=\begin{bmatrix}-2\\-6\\4\end{bmatrix},\ \mathbf u'_3=\begin{bmatrix}-2\\-3\\7\end{bmatrix}\]

用同一個 \(\mathbf w=(-5,8,-5)\) 重複習題 3 的三個小題，基底改為上列向量。

a. \(\det U'=144\)，且

\[U'^{-1}=\frac1{144}\begin{bmatrix}-30&6&-6\\42&-42&-6\\-24&24&24\end{bmatrix},\qquad P_{B\to B'}=U'^{-1}U=\begin{bmatrix}\tfrac34&\tfrac34&\tfrac1{12}\\[2pt]-\tfrac34&-\tfrac{17}{12}&-\tfrac{17}{12}\\[2pt]0&\tfrac23&\tfrac23\end{bmatrix}\]

驗算第一行：\(\tfrac34\mathbf u'_1-\tfrac34\mathbf u'_2=(-3,0,-3)=\mathbf u_1\)　✓

b. 解 \(U\,[\mathbf w]_B=\mathbf w\) 得 \([\mathbf w]_B=(1,1,1)\)（即 \(\mathbf w=\mathbf u_1+\mathbf u_2+\mathbf u_3\)）。故 \([\mathbf w]_{B'}=P\,(1,1,1)^{T}\)，就是 \(P\) 三個行向量相加（也就是每一列的元素和）：

\[[\mathbf w]_{B'}=\left(\tfrac{19}{12},\ -\tfrac{43}{12},\ \tfrac43\right)\]

c. 直接算 \(U'^{-1}\mathbf w=\tfrac1{144}(228,\,-516,\,192)=\left(\tfrac{19}{12},-\tfrac{43}{12},\tfrac43\right)\)　✓ 相符。

Exercises 5–6函數空間與多項式空間

Let \(V\) be the space spanned by \(\mathbf f_1=\sin x\) and \(\mathbf f_2=\cos x\).

a. Show that \(\mathbf g_1=2\sin x+\cos x\) and \(\mathbf g_2=3\cos x\) form a basis for \(V\).

b. Find the transition matrix from \(B'=\{\mathbf g_1,\mathbf g_2\}\) to \(B=\{\mathbf f_1,\mathbf f_2\}\).

c. Find the transition matrix from \(B\) to \(B'\).

d. Compute the coordinate vector \([\mathbf h]_B\), where \(\mathbf h=2\sin x-5\cos x\), and use (11) to obtain \([\mathbf h]_{B'}\).

e. Check your work by computing \([\mathbf h]_{B'}\) directly.

設 \(V\) 為由 \(\mathbf f_1=\sin x\)、\(\mathbf f_2=\cos x\) 所生成的空間。

a. 證明 \(\mathbf g_1=2\sin x+\cos x\) 與 \(\mathbf g_2=3\cos x\) 構成 \(V\) 的一組基底。

b. 求由 \(B'=\{\mathbf g_1,\mathbf g_2\}\) 到 \(B=\{\mathbf f_1,\mathbf f_2\}\) 的轉移矩陣。

c. 求由 \(B\) 到 \(B'\) 的轉移矩陣。

d. 求 \([\mathbf h]_B\)（\(\mathbf h=2\sin x-5\cos x\)），再用 (11) 得 \([\mathbf h]_{B'}\)。

e. 直接計算 \([\mathbf h]_{B'}\) 以驗算。

a. 以 \(B\) 取座標：\([\mathbf g_1]_B=(2,1)\)、\([\mathbf g_2]_B=(0,3)\)。因

\[\begin{vmatrix}2&0\\1&3\end{vmatrix}=6\neq0,\]

兩者線性獨立；又 \(\dim V=2\)，故 \(\{\mathbf g_1,\mathbf g_2\}\) 為 \(V\) 的基底。∎

b. \(P_{B'\to B}=\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}\)

c. \(P_{B\to B'}=\dfrac16\begin{bmatrix}3&0\\-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac12&0\\[2pt]-\tfrac16&\tfrac13\end{bmatrix}\)

d. \([\mathbf h]_B=(2,-5)\)，故

\[[\mathbf h]_{B'}=\begin{bmatrix}\tfrac12&0\\-\tfrac16&\tfrac13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\]

e. 直接看：\(\mathbf g_1-2\mathbf g_2=(2\sin x+\cos x)-6\cos x=2\sin x-5\cos x=\mathbf h\)，故 \([\mathbf h]_{B'}=(1,-2)\)　✓

Consider the bases \(B=\{\mathbf p_1,\mathbf p_2\}\) and \(B'=\{\mathbf q_1,\mathbf q_2\}\) for \(P_1\), where

\[\mathbf p_1=6+3x,\quad \mathbf p_2=10+2x,\quad \mathbf q_1=2,\quad \mathbf q_2=3+2x\]

a. Find the transition matrix from \(B'\) to \(B\).

b. Find the transition matrix from \(B\) to \(B'\).

c. Compute the coordinate vector \([\mathbf p]_B\), where \(\mathbf p=-4+x\), and use (11) to compute \([\mathbf p]_{B'}\).

d. Check your work by computing \([\mathbf p]_{B'}\) directly.

考慮 \(P_1\)（次數 \(\le1\) 的多項式空間）的兩組基底，依序求 \(B'\to B\)、\(B\to B'\) 的轉移矩陣，並對 \(\mathbf p=-4+x\) 求兩種座標向量後互相驗算。

a. 解 \(\mathbf q_1=a\mathbf p_1+b\mathbf p_2\)：\(6a+10b=2,\ 3a+2b=0\Rightarrow a=-\tfrac29,\ b=\tfrac13\)。
解 \(\mathbf q_2\)：\(6a+10b=3,\ 3a+2b=2\Rightarrow a=\tfrac79,\ b=-\tfrac16\)。

\[P_{B'\to B}=\begin{bmatrix}-\tfrac29&\tfrac79\\[2pt]\tfrac13&-\tfrac16\end{bmatrix}\]

b. \(\det=-\tfrac29\)，取反矩陣：

\[P_{B\to B'}=\begin{bmatrix}\tfrac34&\tfrac72\\[2pt]\tfrac32&1\end{bmatrix}\]

驗算：\(\tfrac34(2)+\tfrac32(3+2x)=6+3x=\mathbf p_1\)　✓

c. \(6a+10b=-4,\ 3a+2b=1\Rightarrow[\mathbf p]_B=(1,-1)\)。由 (11)：

\[[\mathbf p]_{B'}=\begin{bmatrix}\tfrac34&\tfrac72\\\tfrac32&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\tfrac{11}{4}\\[2pt]\tfrac12\end{bmatrix}\]

d. 直接解 \(-4+x=a(2)+b(3+2x)\)：\(2b=1\Rightarrow b=\tfrac12\)，\(2a+\tfrac32=-4\Rightarrow a=-\tfrac{11}{4}\)　✓ 相符。

Exercises 7–12公式 (14)、標準基底與轉移矩陣的合成

Let \(B_1=\{\mathbf u_1,\mathbf u_2\}\) and \(B_2=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) be the bases for \(R^2\) in which \(\mathbf u_1=(1,2)\), \(\mathbf u_2=(2,3)\), \(\mathbf v_1=(1,3)\), and \(\mathbf v_2=(1,4)\).

a. Use Formula (14) to find the transition matrix \(P_{B_2\to B_1}\).

b. Use Formula (14) to find the transition matrix \(P_{B_1\to B_2}\).

c. Confirm that \(P_{B_2\to B_1}\) and \(P_{B_1\to B_2}\) are inverses of one another.

d. Let \(\mathbf w=(0,1)\). Find \([\mathbf w]_{B_1}\) and then use the matrix \(P_{B_1\to B_2}\) to compute \([\mathbf w]_{B_2}\) from \([\mathbf w]_{B_1}\).

e. Let \(\mathbf w=(2,5)\). Find \([\mathbf w]_{B_2}\) and then use the matrix \(P_{B_2\to B_1}\) to compute \([\mathbf w]_{B_1}\) from \([\mathbf w]_{B_2}\).

設 \(B_1=\{(1,2),(2,3)\}\)、\(B_2=\{(1,3),(1,4)\}\) 為 \(R^2\) 的兩組基底。

a. 用公式 (14) 求 \(P_{B_2\to B_1}\)。

b. 用公式 (14) 求 \(P_{B_1\to B_2}\)。

c. 確認兩者互為反矩陣。

d. \(\mathbf w=(0,1)\)：先求 \([\mathbf w]_{B_1}\)，再用 \(P_{B_1\to B_2}\) 算出 \([\mathbf w]_{B_2}\)。

e. \(\mathbf w=(2,5)\)：先求 \([\mathbf w]_{B_2}\)，再用 \(P_{B_2\to B_1}\) 算出 \([\mathbf w]_{B_1}\)。

a. 對 \([\,B_1\mid B_2\,]\) 做列化簡：

\[\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&1\\2&3&3&4\end{array}\right]\longrightarrow \left[\begin{array}{cc|cc}1&0&3&5\\0&1&-1&-2\end{array}\right],\qquad P_{B_2\to B_1}=\begin{bmatrix}3&5\\-1&-2\end{bmatrix}\]

驗算：\(3\mathbf u_1-\mathbf u_2=(1,3)=\mathbf v_1\)　✓

b. 對 \([\,B_2\mid B_1\,]\) 做列化簡：

\[P_{B_1\to B_2}=\begin{bmatrix}2&5\\-1&-3\end{bmatrix}\]

c. \(\begin{bmatrix}3&5\\-1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&5\\-1&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)　✓ 互為反矩陣。

d. \([\mathbf w]_{B_1}=(2,-1)\)（因 \(2\mathbf u_1-\mathbf u_2=(0,1)\)）。故

\[[\mathbf w]_{B_2}=\begin{bmatrix}2&5\\-1&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\]

驗算：\(-\mathbf v_1+\mathbf v_2=(0,1)\)　✓

e. \([\mathbf w]_{B_2}=(3,-1)\)（因 \(3\mathbf v_1-\mathbf v_2=(2,5)\)）。故

\[[\mathbf w]_{B_1}=\begin{bmatrix}3&5\\-1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}\]

驗算：\(4\mathbf u_1-\mathbf u_2=(2,5)\)　✓

Let \(S\) be the standard basis for \(R^2\), and let \(B=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) be the basis in which \(\mathbf v_1=(2,1)\) and \(\mathbf v_2=(-3,4)\).

a. Find the transition matrix \(P_{B\to S}\) by inspection.

b. Use Formula (14) to find the transition matrix \(P_{S\to B}\).

c. Confirm that \(P_{B\to S}\) and \(P_{S\to B}\) are inverses of one another.

d. Let \(\mathbf w=(5,-3)\). Find \([\mathbf w]_B\) and then use Formula (12) to compute \([\mathbf w]_S\).

e. Let \(\mathbf w=(3,-5)\). Find \([\mathbf w]_S\) and then use Formula (11) to compute \([\mathbf w]_B\).

設 \(S\) 為 \(R^2\) 的標準基底，\(B=\{(2,1),(-3,4)\}\)。

a. 用觀察法寫出 \(P_{B\to S}\)。

b. 用公式 (14) 求 \(P_{S\to B}\)。

c. 確認 \(P_{B\to S}\) 與 \(P_{S\to B}\) 互為反矩陣。

d. 設 \(\mathbf w=(5,-3)\)：先求 \([\mathbf w]_B\)，再用公式 (12) 算出 \([\mathbf w]_S\)。

e. 設 \(\mathbf w=(3,-5)\)：先求 \([\mathbf w]_S\)，再用公式 (11) 算出 \([\mathbf w]_B\)。

a. 標準基底的座標就是分量，直接把 \(\mathbf v_1,\mathbf v_2\) 當作行：

\[P_{B\to S}=\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\end{bmatrix}\]

b. \(\det=11\)：\(P_{S\to B}=\dfrac1{11}\begin{bmatrix}4&3\\-1&2\end{bmatrix}\)

c. \(\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\end{bmatrix}\cdot\dfrac1{11}\begin{bmatrix}4&3\\-1&2\end{bmatrix}=I\)　✓

d. \([\mathbf w]_B=\dfrac1{11}\begin{bmatrix}4&3\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)；由 (12)：\([\mathbf w]_S=\begin{bmatrix}2&-3\\1&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\-3\end{bmatrix}\)　✓

e. \([\mathbf w]_S=(3,-5)\)；由 (11)：\([\mathbf w]_B=\dfrac1{11}\begin{bmatrix}4&3\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-5\end{bmatrix}=\left(-\tfrac3{11},\,-\tfrac{13}{11}\right)\)

Let \(S\) be the standard basis for \(R^3\), and let \(B=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}\) be the basis in which \(\mathbf v_1=(1,2,3)\), \(\mathbf v_2=(2,5,3)\), and \(\mathbf v_3=(1,0,10)\).

a. Find the transition matrix \(P_{B\to S}\) by inspection.

b. Use Formula (14) to find the transition matrix \(P_{S\to B}\).

c. Confirm that \(P_{B\to S}\) and \(P_{S\to B}\) are inverses of one another.

d. Let \(\mathbf w=(5,-3,1)\). Find \([\mathbf w]_B\) and then use Formula (12) to compute \([\mathbf w]_S\).

e. Let \(\mathbf w=(3,-5,0)\). Find \([\mathbf w]_S\) and then use Formula (11) to compute \([\mathbf w]_B\).

與習題 8 相同，但改為 \(R^3\)，且 \(B=\{(1,2,3),(2,5,3),(1,0,10)\}\)。

a. 用觀察法寫出 \(P_{B\to S}\)。

b. 用公式 (14) 求 \(P_{S\to B}\)。

c. 確認 \(P_{B\to S}\) 與 \(P_{S\to B}\) 互為反矩陣。

d. 設 \(\mathbf w=(5,-3,1)\)：先求 \([\mathbf w]_B\)，再用公式 (12) 算出 \([\mathbf w]_S\)。

e. 設 \(\mathbf w=(3,-5,0)\)：先求 \([\mathbf w]_S\)，再用公式 (11) 算出 \([\mathbf w]_B\)。

a. \(P_{B\to S}=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&5&0\\3&3&10\end{bmatrix}\)

b. 此矩陣的 \(\det=1\)，故

\[P_{S\to B}=\begin{bmatrix}50&-17&-5\\-20&7&2\\-9&3&1\end{bmatrix}\]

c. 兩者相乘得 \(I_3\)（逐項檢查即可）　✓

d. \([\mathbf w]_B=P_{S\to B}\begin{bmatrix}5\\-3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}296\\-119\\-53\end{bmatrix}\)；由 (12) 乘回 \(P_{B\to S}\) 得 \((5,-3,1)\)　✓

e. \([\mathbf w]_S=(3,-5,0)\)；由 (11)：\([\mathbf w]_B=P_{S\to B}\begin{bmatrix}3\\-5\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}235\\-95\\-42\end{bmatrix}\)

驗算：\(235\mathbf v_1-95\mathbf v_2-42\mathbf v_3=(3,-5,0)\)　✓

Let \(S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}\) be the standard basis for the vector space \(R^2\), and let \(B=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) be the basis that results when the vectors in \(S\) are reflected about the line \(y=x\).

a. Find the transition matrix \(P_{B\to S}\).

b. Let \(P=P_{B\to S}\) and show that \(P^{T}=P_{S\to B}\).

設 \(S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}\) 為 \(R^2\) 標準基底，\(B\) 是把 \(S\) 中的向量對直線 \(y=x\) 作鏡射後得到的基底。

a. 求 \(P_{B\to S}\)。

b. 令 \(P=P_{B\to S}\)，證明 \(P^{T}=P_{S\to B}\)。

a. 對 \(y=x\) 鏡射把 \((x,y)\) 送到 \((y,x)\)，故 \(\mathbf v_1=(0,1)\)、\(\mathbf v_2=(1,0)\)：

\[P=P_{B\to S}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\]

b. \(P\) 對稱，故 \(P^{T}=P\)；又 \(P^2=I\)，所以 \(P^{-1}=P\)。而 \(P_{S\to B}=P^{-1}\)，因此 \(P^{T}=P=P^{-1}=P_{S\to B}\)。∎

背後原因：鏡射矩陣是正交矩陣，正交矩陣的反矩陣就是其轉置。

a. Find the transition matrix \(P_{B\to S}\).

b. Let \(P=P_{B\to S}\) and show that \(P^{T}=P_{S\to B}\).

同習題 10，但鏡射軸改為與正 \(x\) 軸夾角 \(\theta\) 的直線。

a. 求 \(P_{B\to S}\)。

b. 令 \(P=P_{B\to S}\)，證明 \(P^{T}=P_{S\to B}\)。

a. 對該直線鏡射的標準矩陣為 \(\begin{bmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{bmatrix}\)，故

\[\mathbf v_1=(\cos2\theta,\ \sin2\theta),\quad \mathbf v_2=(\sin2\theta,\ -\cos2\theta),\qquad P=\begin{bmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{bmatrix}\]

b. \(P\) 對稱故 \(P^{T}=P\)；又

\[P^2=\begin{bmatrix}\cos^2 2\theta+\sin^2 2\theta&0\\0&\sin^2 2\theta+\cos^2 2\theta\end{bmatrix}=I,\]

所以 \(P^{-1}=P=P^{T}\)，即 \(P^{T}=P_{S\to B}\)。∎

If \(B_1,B_2,\) and \(B_3\) are bases for \(R^2\), and if

\[P_{B_1\to B_2}=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}\quad\text{and}\quad P_{B_2\to B_3}=\begin{bmatrix}7&2\\4&-1\end{bmatrix}\]

then \(P_{B_1\to B_3}=\underline{\hspace{4em}}\).

若 \(B_1,B_2,B_3\) 都是 \(R^2\) 的基底，且已知上述兩個轉移矩陣，求 \(P_{B_1\to B_3}\)。

由 \([\mathbf w]_{B_3}=P_{B_2\to B_3}[\mathbf w]_{B_2}=P_{B_2\to B_3}P_{B_1\to B_2}[\mathbf w]_{B_1}\)，可知後面的轉移矩陣乘在左邊：

\[P_{B_1\to B_3}=P_{B_2\to B_3}\,P_{B_1\to B_2}=\begin{bmatrix}7&2\\4&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}31&11\\7&2\end{bmatrix}\]

Exercises 13–19合成、順序與反推基底

If \(P\) is the transition matrix from a basis \(B'\) to a basis \(B\), and \(Q\) is the transition matrix from \(B\) to a basis \(C\), what is the transition matrix from \(B'\) to \(C\)? What is the transition matrix from \(C\) to \(B'\)?

若 \(P\) 是由 \(B'\) 到 \(B\) 的轉移矩陣，\(Q\) 是由 \(B\) 到 \(C\) 的轉移矩陣，問由 \(B'\) 到 \(C\) 的轉移矩陣為何？由 \(C\) 到 \(B'\) 的又為何？

\([\mathbf w]_C=Q[\mathbf w]_B=QP[\mathbf w]_{B'}\)，故

\[P_{B'\to C}=QP,\qquad P_{C\to B'}=(QP)^{-1}=P^{-1}Q^{-1}.\]

注意順序不可交換：先做的轉換寫在右邊。

To write the coordinate vector for a vector, it is necessary to specify an order for the vectors in the basis. If \(P\) is the transition matrix from a basis \(B'\) to a basis \(B\), what is the effect on \(P\) if we reverse the order of vectors in \(B\) from \(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\) to \(\mathbf v_n,\dots,\mathbf v_1\)? What is the effect on \(P\) if we reverse the order of vectors in both \(B'\) and \(B\)?

寫座標向量時必須先指定基底中向量的順序。若 \(P\) 是 \(B'\to B\) 的轉移矩陣，將 \(B\) 中向量的順序完全顛倒，對 \(P\) 有何影響？若 \(B'\) 與 \(B\) 的順序都顛倒呢？

\(P\) 的第 \(j\) 行是 \([\mathbf u'_j]_B\)，其第 \(i\) 個分量對應 \(B\) 的第 \(i\) 個向量。

只顛倒 \(B\)：每一行內部的分量順序被顛倒，也就是 \(P\) 的列（row）順序整個反轉。

兩組都顛倒：列反轉之外，行（column）順序也反轉，也就是把 \(P\) 旋轉 \(180^\circ\)：

\[(P_{\text{new}})_{ij}=P_{\,n+1-i,\ n+1-j}.\]

用反轉排列矩陣 \(J\) 表示：只顛倒 \(B\) 得 \(JP\)；兩者都顛倒得 \(JPJ\)。

Consider the matrix

\[P=\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&2\\0&2&1\end{bmatrix}\]

a. \(P\) is the transition matrix from what basis \(B\) to the standard basis \(S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\}\) for \(R^3\)?

b. \(P\) is the transition matrix from the standard basis \(S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\}\) to what basis \(B\) for \(R^3\)?

a. \(P\) 是由哪一組基底 \(B\) 到標準基底 \(S\) 的轉移矩陣？

b. \(P\) 是由標準基底 \(S\) 到哪一組基底 \(B\) 的轉移矩陣？

a. 若 \(P=P_{B\to S}\)，則各行就是 \(B\) 的向量在標準座標下的樣子：

\[B=\{(1,1,0),\ (1,0,2),\ (0,2,1)\}\]

b. 若 \(P=P_{S\to B}\)，則 \(P^{-1}=P_{B\to S}\)，\(B\) 的向量是 \(P^{-1}\) 的各行。因 \(\det P=-5\)：

\[P^{-1}=\frac15\begin{bmatrix}4&1&-2\\1&-1&2\\-2&2&1\end{bmatrix},\qquad B=\left\{\left(\tfrac45,\tfrac15,-\tfrac25\right),\ \left(\tfrac15,-\tfrac15,\tfrac25\right),\ \left(-\tfrac25,\tfrac25,\tfrac15\right)\right\}\]

The matrix

\[P=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&2\\0&1&1\end{bmatrix}\]

is the transition matrix from what basis \(B\) to the basis \(\{(1,1,1),\ (1,1,0),\ (1,0,0)\}\) for \(R^3\)?

此 \(P\) 是由哪一組基底 \(B\) 到基底 \(\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}\) 的轉移矩陣？

令 \(C=\{\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3\}=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}\)。\(P\) 的第 \(j\) 行即 \([\mathbf b_j]_C\)，故直接組合出 \(\mathbf b_j\)：

\(\mathbf b_1\) \(=1\mathbf c_1=(1,1,1)\)

\(\mathbf b_2\) \(=3\mathbf c_2+1\mathbf c_3=(3,3,0)+(1,0,0)=(4,3,0)\)

\(\mathbf b_3\) \(=2\mathbf c_2+1\mathbf c_3=(2,2,0)+(1,0,0)=(3,2,0)\)

\[B=\{(1,1,1),\ (4,3,0),\ (3,2,0)\}\]

Let \(S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}\) be the standard basis for \(R^2\), and let \(B=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) be the basis that results when the linear transformation defined by

\[T(x_1,x_2)=(2x_1+3x_2,\ 5x_1-x_2)\]

is applied to each vector in \(S\). Find the transition matrix \(P_{B\to S}\).

設 \(S\) 為 \(R^2\) 標準基底，把線性變換 \(T\) 作用到 \(S\) 的每個向量得到基底 \(B\)。求 \(P_{B\to S}\)。

\(\mathbf v_1=T(1,0)=(2,5)\)、\(\mathbf v_2=T(0,1)=(3,-1)\)。因 \(S\) 是標準基底，直接把它們當作行：

\[P_{B\to S}=\begin{bmatrix}2&3\\5&-1\end{bmatrix}\]

也就是 \(T\) 的標準矩陣本身（\(\det=-17\neq0\)，故 \(B\) 確為基底）。

Let \(S=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\}\) be the standard basis for \(R^3\), and let \(B=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}\) be the basis that results when the linear transformation defined by

\[T(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,\ 2x_1-x_2+4x_3,\ x_2+3x_3)\]

is applied to each vector in \(S\). Find the transition matrix \(P_{B\to S}\).

同習題 17，但在 \(R^3\)：求把 \(T\) 作用於標準基底後所得基底 \(B\) 的轉移矩陣 \(P_{B\to S}\)。

\(\mathbf v_1=T(1,0,0)=(1,2,0)\)、\(\mathbf v_2=T(0,1,0)=(1,-1,1)\)、\(\mathbf v_3=T(0,0,1)=(0,4,3)\)。故

\[P_{B\to S}=\begin{bmatrix}1&1&0\\2&-1&4\\0&1&3\end{bmatrix}\]

\(\det=1(-3-4)-1(6-0)+0=-13\neq0\)，\(B\) 確為 \(R^3\) 的基底。

If \([\mathbf w]_B=\mathbf w\) holds for all vectors \(\mathbf w\) in \(R^n\), what can you say about the basis \(B\)?

若對 \(R^n\) 中所有向量 \(\mathbf w\) 都有 \([\mathbf w]_B=\mathbf w\)，你能對基底 \(B\) 說些什麼？

\(B\) 必為標準基底（且順序也是標準順序）\(B=\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}\)。

理由：設 \(B=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}\)，取 \(\mathbf w=\mathbf e_j\)，則 \([\mathbf e_j]_B=\mathbf e_j\) 表示

\[\mathbf e_j=0\mathbf v_1+\cdots+1\cdot\mathbf v_j+\cdots+0\mathbf v_n=\mathbf v_j.\]

對每個 \(j\) 皆成立，故 \(\mathbf v_j=\mathbf e_j\)。∎

Exercises 20–21證明題

Let \(B\) be a basis for \(R^n\). Prove that the vectors \(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots,\mathbf v_k\) span \(R^n\) if and only if the vectors \([\mathbf v_1]_B,[\mathbf v_2]_B,\dots,[\mathbf v_k]_B\) span \(R^n\).

設 \(B\) 為 \(R^n\) 的一組基底。證明：\(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k\) 生成 \(R^n\)，若且唯若座標向量 \([\mathbf v_1]_B,\dots,[\mathbf v_k]_B\) 生成 \(R^n\)。

座標映射 \(\varphi(\mathbf v)=[\mathbf v]_B\) 是線性的，且由基底表示法的唯一性可知它是一對一且映成的（即線性同構）。對任意純量有

\[\mathbf w=c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k\iff[\mathbf w]_B=c_1[\mathbf v_1]_B+\cdots+c_k[\mathbf v_k]_B.\]

（\(\Rightarrow\)）設 \(\{\mathbf v_i\}\) 生成 \(R^n\)。任取 \(\mathbf y\in R^n\)，由映成性存在 \(\mathbf w\) 使 \([\mathbf w]_B=\mathbf y\)；把 \(\mathbf w\) 寫成 \(\mathbf v_i\) 的線性組合後取座標，即得 \(\mathbf y\) 是 \([\mathbf v_i]_B\) 的線性組合。

（\(\Leftarrow\)）設 \(\{[\mathbf v_i]_B\}\) 生成 \(R^n\)。任取 \(\mathbf w\in R^n\)，把 \([\mathbf w]_B\) 寫成 \([\mathbf v_i]_B\) 的線性組合，再由一對一性回推，得 \(\mathbf w\) 是 \(\mathbf v_i\) 的相同線性組合。∎

Let \(B\) be a basis for \(R^n\). Prove that the vectors \(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\dots,\mathbf v_k\) form a linearly independent set in \(R^n\) if and only if the vectors \([\mathbf v_1]_B,[\mathbf v_2]_B,\dots,[\mathbf v_k]_B\) form a linearly independent set in \(R^n\).

設 \(B\) 為 \(R^n\) 的一組基底。證明：\(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k\) 在 \(R^n\) 中線性獨立，若且唯若 \([\mathbf v_1]_B,\dots,[\mathbf v_k]_B\) 線性獨立。

同樣利用座標映射的線性與唯一性，並注意 \([\mathbf v]_B=\mathbf 0\iff\mathbf v=\mathbf 0\)。對任意純量 \(c_1,\dots,c_k\)：

\[c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0\iff c_1[\mathbf v_1]_B+\cdots+c_k[\mathbf v_k]_B=\mathbf 0.\]

兩個方程式擁有完全相同的解集合 \((c_1,\dots,c_k)\)。因此一邊只有平凡解，若且唯若另一邊也只有平凡解，即兩邊的線性獨立性等價。∎

True-False Exercises判斷真偽並說明理由

In parts (a)–(f) determine whether the statement is true or false, and justify your answer.

a. If \(B_1\) and \(B_2\) are bases for a vector space \(V\), then there exists a transition matrix from \(B_1\) to \(B_2\).

b. Transition matrices are invertible.

c. If \(B\) is a basis for a vector space \(R^n\), then \(P_{B\to B}\) is the identity matrix.

d. If \(P_{B_1\to B_2}\) is a diagonal matrix, then each vector in \(B_2\) is a scalar multiple of some vector in \(B_1\).

e. If each vector in \(B_2\) is a scalar multiple of some vector in \(B_1\), then \(P_{B_1\to B_2}\) is a diagonal matrix.

f. If \(A\) is a square matrix, then \(A=P_{B_1\to B_2}\) for some bases \(B_1\) and \(B_2\) for \(R^n\).

判斷 (a)–(f) 各敘述為真或偽，並說明理由。

a. 若 \(B_1,B_2\) 都是向量空間 \(V\) 的基底，則存在由 \(B_1\) 到 \(B_2\) 的轉移矩陣。

b. 轉移矩陣都是可逆的。

c. 若 \(B\) 是 \(R^n\) 的基底，則 \(P_{B\to B}\) 是單位矩陣。

d. 若 \(P_{B_1\to B_2}\) 是對角矩陣，則 \(B_2\) 中每個向量都是 \(B_1\) 中某個向量的純量倍。

e. 若 \(B_2\) 中每個向量都是 \(B_1\) 中某個向量的純量倍，則 \(P_{B_1\to B_2}\) 是對角矩陣。

f. 若 \(A\) 是方陣，則存在 \(R^n\) 的基底 \(B_1,B_2\) 使 \(A=P_{B_1\to B_2}\)。

	判斷	理由
a	T	在本節的有限維設定下，任一組基底的向量都能唯一地用另一組基底表示，把這些座標向量排成行即得轉移矩陣（若 \(V\) 為無限維則談不上矩陣）
b	T	\(P_{B_1\to B_2}\) 與 \(P_{B_2\to B_1}\) 互為反矩陣
c	T	各行為 \([\mathbf v_j]_B=\mathbf e_j\)，排起來就是 \(I\)
d	T	設 \(B_1=\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}\)、\(B_2=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}\)，對角元為 \(d_j\)（因可逆故皆非零）。第 \(j\) 行是 \([\mathbf u_j]_{B_2}=d_j\mathbf e_j\)，即 \(\mathbf u_j=d_j\mathbf v_j\)，反過來 \(\mathbf v_j=\tfrac1{d_j}\mathbf u_j\)
e	F	「某個向量」未必是對應位置的向量。反例：\(B_1=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}\)、\(B_2=\{\mathbf e_2,\mathbf e_1\}\)，此時 \(P_{B_1\to B_2}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) 非對角
f	F	轉移矩陣必可逆，故任何 \(\det A=0\) 的方陣（例如零矩陣）都不可能是轉移矩陣

Exercises T1–T2用計算工具處理換基底

Let

\[P=\begin{bmatrix}5&8&6&-13\\3&-1&0&-9\\0&1&-1&0\\2&4&3&-5\end{bmatrix}\]

and

\[\mathbf v_1=(2,4,3,-5),\quad \mathbf v_2=(0,1,-1,0),\quad \mathbf v_3=(3,-1,0,-9),\quad \mathbf v_4=(5,8,6,-13)\]

Find a basis \(B=\{\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3,\mathbf u_4\}\) for \(R^4\) for which \(P\) is the transition matrix from \(B\) to \(B'=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4\}\).

求 \(R^4\) 的一組基底 \(B=\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_4\}\)，使得 \(P\) 恰為由 \(B\) 到 \(B'=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_4\}\) 的轉移矩陣。

關鍵：\(P=P_{B\to B'}\) 的第 \(j\) 行就是 \([\mathbf u_j]_{B'}\)，所以

\[\mathbf u_j=\sum_{i=1}^{4}P_{ij}\,\mathbf v_i,\qquad\text{即}\quad U=V P,\]

\[U=VP=\begin{bmatrix}20&39&24&-51\\39&62&49&-101\\24&49&36&-60\\-51&-101&-60&130\end{bmatrix}\]

故

\[\mathbf u_1=(20,39,24,-51),\quad \mathbf u_2=(39,62,49,-101),\] \[\mathbf u_3=(24,49,36,-60),\quad \mathbf u_4=(-51,-101,-60,130)\]

驗證是基底：\(\det V=1\)、\(\det P=1\)，故 \(\det U=1\neq0\)，這四個向量確實構成 \(R^4\) 的基底。

逐項驗算 \(\mathbf u_1\)：\(5\mathbf v_1+3\mathbf v_2+0\mathbf v_3+2\mathbf v_4=(10,20,15,-25)+(0,3,-3,0)+(10,16,12,-26)=(20,39,24,-51)\)　✓
有趣的是 \(P\) 的四個列恰好是 \(\mathbf v_4,\mathbf v_3,\mathbf v_2,\mathbf v_1\)，因此 \(U=VJV^{T}\)（\(J\) 為反序排列矩陣），這也解釋了 \(U\) 為何是對稱矩陣。

Given that the matrix for a linear transformation \(T:R^4\to R^4\) relative to the standard basis \(B=\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3,\mathbf e_4\}\) for \(R^4\) is

\[\begin{bmatrix}1&2&0&1\\3&0&-1&2\\2&5&3&1\\1&2&1&3\end{bmatrix}\]

find the matrix for \(T\) relative to the basis

\[B'=\{\mathbf e_1,\ \mathbf e_1+\mathbf e_2,\ \mathbf e_1+\mathbf e_2+\mathbf e_3,\ \mathbf e_1+\mathbf e_2+\mathbf e_3+\mathbf e_4\}\]

已知線性變換 \(T:R^4\to R^4\) 相對於標準基底 \(B\) 的矩陣為 \(A\)，求 \(T\) 相對於基底 \(B'\) 的矩陣。

作法：令 \(P=P_{B'\to B}\)（各行即 \(B'\) 的向量），則新矩陣為 \(A'=P^{-1}AP\)。

\[P=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{bmatrix}\]

先算 \(AP\)（右乘 \(P\) 等於「把 \(A\) 的前 \(k\) 行累加」）：

\[AP=\begin{bmatrix}1&3&3&4\\3&3&2&4\\2&7&10&11\\1&3&4&7\end{bmatrix}\]

再左乘 \(P^{-1}\)（等於「每一列減去下一列」，最後一列不變）：

\[A'=P^{-1}AP=\begin{bmatrix}-2&0&1&0\\1&-4&-8&-7\\1&4&6&4\\1&3&4&7\end{bmatrix}\]

驗算 1：第一行應為 \([T(\mathbf e_1)]_{B'}\)。\(T(\mathbf e_1)=(1,3,2,1)\)，用 \(B'\) 展開得係數 \((-2,1,1,1)\)　✓
驗算 2：跡數不變，\(\operatorname{tr}A=1+0+3+3=7\)，\(\operatorname{tr}A'=-2-4+6+7=7\)　✓